1.

\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow\) I là 1 đỉnh của hình bình hành ABIC

2.

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}\)

\(\Rightarrow\) M là 1 đỉnh của hình bình hành ANCM

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=\overrightarrow{0}\)

=>vecto MA=0 hoặc M là trọng tâm của ΔABC

=>M là trọng tâm của ΔABC hoặc M trùng với A

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BM}\)

Vậy M là điểm sao cho tứ giác ACBM là hình bình hành.

1.

Lấy điểm A' đối xứng với A qua Ox \(\Rightarrow A\left(-2;-1\right)\)

M có tọa độ \(M\left(x;0\right)\)

Ta có \(AM+MB=A'M+MB\ge AB=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\)

\(min=41\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A'M}=k\overrightarrow{A'B}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=k.4\\1=k.5\end{matrix}\right.\Rightarrow x=-\dfrac{6}{5}\Rightarrow M\left(-\dfrac{6}{5};0\right)\)

2.

Gọi N là trung điểm BC

\(\overrightarrow{MA}.\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MN}=0\)

\(\Leftrightarrow2MA.MN.cosAMN=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}MA=0\\MN=0\\cosAMN=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}M\equiv A\\M\equiv N\\\widehat{AMN}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính AN

Có \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{CM}\)
\(=\left(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}\right)=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\) (Không phụ thuộc vào vị trí điểm M).

b) Dựng hình bình hành BCAD. Theo quy tắc hình bình hành:
\(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}\).
Vậy \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}\).

\(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\)

\(=2\overrightarrow{ME}-2\overrightarrow{MC}\) (E là trung điểm cạnh AB)

\(=\left(\overrightarrow{ME}-MC\right)=2\overrightarrow{CE}\)

vậy \(\overrightarrow{v}\) không phụ thuộc vị trí của điểm M

\(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CE}\) thì E là trung điểm của CD

\(\Rightarrow\) ta dựng được điểm D

Bài 1:

Gọi K là trung điểm của BC

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔCAB có

O,K lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>OK là đường trung bình

=>OK//AB và \(OK=\dfrac{AB}{2}\)

=>\(\overrightarrow{OK}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

Xét ΔOBC có OK là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\cdot\overrightarrow{OK}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

=>M trùng với B

Bài 2:

Xét ΔABC có

M,P lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MP là đường trung bình của ΔABC

=>MP//BC và MP=BC/2

=>MP=CN

mà MP//NC

nên MPCN là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\)

=>\(\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{CN}\)

=>\(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

mà \(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}\)

nên K trùng với P

Có \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}\).
Suy ra: \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\)
Vậy điểm M được xác định sao cho \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\).